閱讀筆記心得 : “Telescope Optics” by Rutten & Van Venrooij

(2015/05/25 updated)

書末有些較專業的內容譬如光學的計算、望遠鏡設計等章節（本書第二十、二十一章）一般使用者可以先略過，此外，第二十二章是望遠鏡設計軟體使用說明，不過這個軟體是要另外向作者購買的。

個人覺得這本對像我這樣的一般望遠鏡使用者來說稍微專業了一點，不過仍值得一讀，只是要花比較多時間理解。^_^～

"Telescope Optics - A Comprehensive Manual for Amateur Astronomers"  Harrie G. J. Rutten, Martin A. M. Van Venrooij , 1988 (fifth printing  2002)

一開始作者先簡介了望遠鏡的發展歷史，1608 Dutch 發明的望遠鏡：物鏡positive objective，目鏡negative。1663 James Gregory mirror ，1668 可用的反射鏡牛頓出現，約9年後有了 Frenchman Guillaume Cassegrain，1729 Chester M.Hall 發明兩片式消色差折射鏡。

在二十世紀之前，望遠鏡的使用不是純粹的lenses（折射）就是mirrors（反射），但漸漸使用者了解到，反射式雖然較容易做大口徑，但近軸以外的像差使得影像可用的範圍較小，另一方面折射式雖然可用的視野角度較廣，但當口徑較大或焦比較小時就會受到較大色差的影響。終於到了1930年有革命性的進展，Bernhardt Schmidt 製造了第一台施密特相機。1962年Ronald R.Willey, Jr., 演繹了 Schmidt-Cassegrain 的優秀光學性能，作者說Tom Johnson 因此而開始製造8" , f/10的Celestron，在數十年之後 Robert Sigler 研究了所有的Schmidt-Cassegrain系統望遠鏡。


在折反射望遠鏡發展的早期，因為Schmidt-Cassegrain的修正鏡的特殊曲線較難製造，有些人研究發現使用新月形的修正板的效果與Schmidt-Cassegrain差不多，可以修正球面鏡的球差，Maksutov 系統的望遠鏡於是誕生，包括我們常聽到的馬卡Maksutov -Cassegrain （1957 John Gregory），以上這兩種系統我們稱之為 catadioptric （折反射式）。

又因為反射、折反射中央次鏡的遮蔽影響，會降低成像的對比，1950年代Anton Kutter 嘗試發明了無遮蔽的反射式，schiefspiglers ,TCTS(titled component telescopes)，不過成像效果不是很理想。






First order optics

一次項（只取方程式中的一次方項做近似計算，sin x = x）光學，用在做近軸光學（paraxial）的計算，假設光學鏡片表面對光軸旋轉對稱，鏡片也假設「無限薄」。

近軸光學可以初步計算光學系統的尺寸，但對像差並無法提供任何訊息。

折射率：空氣 1.00029（在計算中通常簡化為 1） ， 水 1.33，一般玻璃 1.51 （soda-lime)。

Paraxial Rays ：非常接近光軸的光線，sin x 可近似為X
Snell's law: Sin ß/sin ß'=n' / n
Critical angle : arcsin(1/n)
反射n'=-n

1/f=(n-1)(1/R1-1/R2)

一次項光學，簡單化計算，處理近軸光線Paraxial region，與望遠鏡設計的最初步驟。

Seidel calculation ，使用 third-order 計算像差，以在不進行完整的ray-tracing 分析方式下得到光學系統像差的初步輪廓。(Seidel 於1856由近軸計算進一步發展出來。忽略五次方以上。 )

像差 Image Aberration

Monochromatic aberration
單色像差，無論折射或反射式系統都有可能發生。
由於光學系統的瑕疵，當使用單一波長的光線測試時即會產生的像差，

Von Seidel 於1850年代分析單色像差，分類為以下（今日我們亦稱其為 Seidel aberrations)：
1 spherical aberration
2 coma
3 astigmatism
4 curvature of field
5 distortion

球面像差

彗形像差

關於這個Transverse Aberration 的圖說的象限、正負號判別，可能作者覺得很基礎或個人自己的閱讀疏忽，花了一點時間才悟出，自己再畫圖複習時加了些符號註記。

當一個沒有球面差的系統，它必須符合Abbe sine 條件才能不產生彗差。
Ernst Abbe 發現的sin定律：
h/(sin U') = C ,h 是該平行光線進入系統的高度，U' 是它交於中心軸的夾角。

Abbe 稱一個既無spherical aberration 也無coma 的系統叫「aplanatic」。

像散

Curvature of Field ：眼睛多少可以自我調整，但攝影用必須平場處理。


作者說明：“When an eyepiece suffers from field curvature , the accommodation required of the eye for a simultaneously sharp image at both the center and edge increases in inverse proportion to the focal length of the eyepiece. ”


1 diopter f=1000mm, 2 D=500mm

作者在書中並解釋了在望遠鏡與目鏡的組合下，如何利用眼睛對於場曲的自適應性：

當物鏡有場曲，目鏡無場曲的場合，眼睛應先對焦目鏡視野邊緣，然後眼睛會自己調適中央的影像。
當物鏡沒有場曲而目鏡有場曲的組合，眼睛應先對焦視野中央。

Distortion：
影像倍率太大= positive distortion= pincushion
太小= negative=barrel distortion

Chromatic aberration 色差

由於不同波長的折射率不同，造成進入光學系統後無法聚焦於同一點。
此色差只會出現在含折射元件的系統。

色差

Longitudinal Chromatic aberration （axial chromatic aberration)
軸向色差，不同波長折射率不同, 在光軸上聚焦在不同位置，在optical axis 會形成 color fringes。

Lateral color
發生在off-axis，因為不同波長的影像倍率不同。

 afocal。我們使用望遠鏡，是由眼睛將由目鏡出瞳處射出的平行光線聚焦於視網膜上成像。

牛頓式：
主要的像差是彗差，對此平場鏡的作用不大。距離光軸較遠處有像散，形成在成像的彗差上出現第二個尾巴。


兩片鏡片的消色差折射鏡 achromatic doublet ：

在現實生活中我們使用的鏡片並非無限薄，所以都多少有球面像差。
初步的消色差即是降低球面像差及彗差，然後再進行色差修正，修正單片鏡片產生的色差，這個單片鏡片的色差叫作  primary spectrum。

可用的方式包括選擇適合的不同材質搭配，另外還有 “Bending the lenses” 即在不改變鏡片的power 的前提下改變鏡片形狀（請參考書中圖6.2），以及設計兩鏡片間的較大空氣間隔，及兩鏡片彼此相對的這兩內面的不同表面曲度的設計。

然而，像散以及場曲是無法在一般的兩片式消色差鏡中修正。

針對目視用途或攝影用途所做的消色差修正是不同，因為人眼對綠色波長較為敏感，所以在目視用的望遠鏡的修正色差方式，是設計校正為綠色光線經過該光學系統的焦距最短，並且將紅、藍兩色的焦距修正成相同，然後再盡量縮短綠光與紅－藍光的焦距差△f（這個△f稱作 Secondary Spectrum, “secondary spectrum of a doublet does not depend on the lens shape or lens power”)，相系統完成了這樣的校正，我們就說它是C-F corrected，完成了兩色校正 ，針對攝影用途做的色差校正，則必須以藍或紫色波長為最短焦距。如果想校正三色，譬如紅、藍、紫，則須要至少三片鏡片，我們稱這樣的系統叫複消色差或全消色差（apochromat triplet），然而作者也提醒我們，宣稱為APO 的望遠鏡不一定就真得都修正得很好。

校正用的波長及其代稱：

紫色  g, 435.83nm
          F ',479.99nm
藍色  F, 486.13nm
綠色  e, 546.07nm
黃色  d, 587.56nm
         C ',643.85nm
紅色 C, 656.27nm 

使用鏡片的數據
Abbe number
Dispersion number （色散），Abbe number：折射率隨著波長改變的程度
Vd=( n d -1) / (n F - n C )
Ve=(n e - 1)/(n F'- n C' )

由分母可知，當色散程度小的時候，即分母越小，Abbe係數越大。


n :折射率 refractive index，一般使用在 1.44-1.96

當Abbe 係數大於 55 我們稱這鏡片是 Crowns ，Abbe 係數小於 50 則稱作 flint glasses

作者也舉例了如何解讀國際標準的六碼數字。譬如 517642代表折射率是 1.517，Abbe 係數是 64.2。

一般的achromatic doublet修正後的secondary spectrum 可縮至f/2000(semi-apochromats)，更好的修正可到f/4000。當然，使用一些較新、昂貴的玻璃可獲得f/8000, 最好的doublet 是使用螢石 fluorite材質，可達到f/16000，這已經比許多一般的apo都要好（作者擧例，有些APO 甚至只有f/3500)。但螢石除了昂貴以外，對於氣候非常敏感（highly subject to weathering )是它的不便之處。

究竟secondary spectrum 要修到什麼樣的程度才可以接受呢？作者説，在一般的doublet 來説，當系統對綠色對焦後，紅－藍的模糊形成的圈圈不要超過「Airy disk 的三倍」便能接受，因為人眼對紅、藍較不敏銳。
作者提及，當系統對焦緑光後通常的secondary spectrum 為0.0005f ，紅－藍的圈圈為0.0005D，經過一些簡單計算(airy disk=f/735D, p.59), 我們可以求出系統要避免色差的條件是焦比(f/D) 不得小於0.122D（mm), D是口徑。例如，當一口徑為100mm的doublet 要能完全地achromatism 所須焦比要大於f/12.2。


當我們針對綠光修正球面像差後（前面提到定義spherical aberration 是一種monochromatic ), 對紅光會處於修正不足，而對藍光會呈現過度校正，這種隨波長而變的球面像差叫spherochromatism  (p.60)。

Cassegrain及 catadioptric 等

Cassegrain Telescope

由主鏡與次鏡經兩次反射將光束導至鏡筒後方的反射式望遠鏡。
同樣焦距下鏡身長度比牛頓式要短很多，但埸曲比牛頓式和折射式要嚴重。
當焦長固定，場曲會隨著次鏡的減小而增加，場曲亦隨著鏡距d 的縮短而增加。


Dall-Kirkham及Pressmann-Camichel都有較嚴重的彗形像差，比較適合較小的像場需求。Ritchey-Chretien 較難製造，但沒有彗差，提供較廣的可用視野，適合撮影用途。




Schmit-Cassegrain


修正板主要用來修正球面像差，修正板最薄的區域叫neutral zone 中性區，光線經過這區域時並不偏向（deviation)。但是因為此修正板本身是折射元素，它會造成色差，但色差並不嚴重並可藉由中性區的位置而減小。（此最佳位置通常在距光軸86.6%高的地方，請參考書中9.7圖示）。目視用次鏡遮蔽率於30%左右（作者說明一般是34%），當遮蔽率降到25%會有很嚴重的成像圈vignetting（由避免光缐未經反射而直接通過exit pupil 的中央的baffle tube 遮管所造成）。


若將修正板移前、遠離次鏡，即使主次鏡都是球面也可沒有彗差，可惜這種non -compact 設計有許多不便。將次鏡非球面化是較容易的作法。
經由將主、次鏡的曲率設計成相同，可得平場flat-field schmit-Cassegrain 。



關於 Close focusing 有兩種方式對焦，移動主鏡或移動目鏡，參考書中圖9.8，移動主鏡的成像表現會比較佳，當目標越近，移動目鏡的spot diagram 相比之下將劣化越快。


Maksutov Camera

當施密特相機普遍為人所知，光學家開始設法設計以較簡單的製造方式來取代施密特修正板，彎月形透鏡(Meniscus, 凹凸透鏡)作為修正板的Maksutov 相機於是誕生（1940）。但當主鏡大於50公分後就失去製造上的優勢，所以500mm以上大口徑較少用。


Focal correctors：用來修正球面差，但因有negative power, 所以焦長會增加。勿與巴羅鏡混淆，巴羅鏡無法修正球面差。

關於目鏡的部分，因為本書的寫作時間比較早，所以尚未涵蓋今日市場上更多的目鏡型式，市面上有其他專門介紹目鏡的書籍可進一步參考閱讀。

作者在本書中分析了物鏡與目鏡的組合，得到以下結論：目鏡的像散主宰了組合的像散。此外目鏡的像散也主宰了牛頓反射鏡成像的彗形。

Linear resolving power 線性解析力

 線性解析力用在評估對有面積的天體的解析能力（相對於星點），單位是 Line pair per millimeter。

*計算時波長 λ的單位要先換算為 mm。波長不同計算出來的分解能便不同。

SL= D/(f•λ） lp/mm

（D是望遠鏡的口徑 ，f是焦距。）

角分解能與線解析力不同，角分解能（angular resolving power）是 λ/D radians＝ 206265*λ/D arcseconds。這個理論上的角分解能會因為大氣寧視度、繞射等因素影響，實際使用上應以後述的Airy disk為依據。

（我們通常將比角分解能大的目標稱為  extended sources ，將等於它比它小的目標則稱為 point sources）




1835年 Airy 分析計算了具圓形光圈的光學系統（例如望遠鏡）的繞射圖形丶直徑、以及其中強度分佈。今日我們稱之為Airy pattern 及Airy Disk (1.22λ/ D radians =140/D ，也等於是 Rayleigh Criterion，也是我們通常說的望遠鏡規格中的分解能)，中央的圓盤包含了84%的光線，第一個繞射環佔7%，第二繞射環佔3%⋯⋯，人眼對綠光較敏鋭，故以綠色波長計算第一圈為 280/D arcseconds (f/735D mm) 。

*Airy pattern 第一圈的直徑 為2.44 * λ/D radians = 2.44 * 206265 * (5.55 /10000) /D = 280 /D arcseconds

Rayleigh 的解析最小極限值為140/D ，兩重曡之Ariy disk 中央凹處的亮度為最高質的74%。Dawes的極限值為117/D（約1.02  λ/D radians，約等於FWHM ＝1.03 λ/D radians），中央只比最高值下降了3.2%，作者指出它只適合當以6"鏡來觀察測六等的「白色」雙星，且有像差的光學系統不適用。當雙星彼此星等不同，解析力便會大大下降。請參考下圖。

書中比較了目視用的兩支f/10 的望遠鏡的CTF 曲線，一支無遮蔽，另一支為標準的40%遮蔽的Cassegrain 。


1、2曲線，使用黑白間隔、具有正弦波強度分佈的光柵樣本測試(Periodic grating），波峰為1，波谷為0，紀錄經過光學系統後的成像。當隨着增加測試光柵的line pair密度，又稱為spatial frequency (在此圖橫軸表示為resolution， line pairs per millimeter), 此圖可見透過望遠鏡後的影像對比隨之降低，這條曲線即是CTF(contrast transfer function)。


對比降低可以很容易從影像的強度分佈函數圖看出，這時波谷已經不為零，意思是最暗部分已經受繞射影響而變亮。


這個影響會隨著密度增加而增加，當到達一極限密度，超過此密度成像都只會呈現一片灰色，我們説這時即達到了此光學系統的線性分解能SL，望遠鏡的SL可以由 1/（焦比x波長) 求得，如果以人眼最敏感的綠光555nm 測試，焦比f/10的望遠鏡LS=180 lp/mm。這個180 lp/mm 就是圖中曲線當對比降為0時交於橫軸的數值。
由於曲線3與4是以實際的天體為測試樣本，它們原始的對比就不高，所以曲線並非從1（100%)啓始。5、6兩條缐則是人眼的辨識對比門檻。




眼睛與望遠鏡的搭配分析：
由F、B兩點可看出，對於亮目標的分解能高於暗目標。
比較F（曲線1）與G（曲線3）兩點，對高對比的目標分解能要高於低對比的目標。
比較E(曲線2)與F（曲線1）兩點，當目標是高對比時，例如亮的雙星，有遮蔽的系統的分解能略高於無遮蔽（前提在seeing 很好的情況），因為Airy disk的大小的關係，請參考上圖有遮蔽的Airy disk。

當目標是低對比時，例如行星，有遮蔽的系統的分解能便低於無遮蔽系統。比較H與G。

對於高對比的目標，光學系統的瑕疵對分解能影響較小，所以作者建議若要測試光學系統的性能表現，最好使用暗灰與亮灰相間的測試圖表，而不要使用高對比的黑白測試圖表。




另外談一下第十九章的消光與漸暈（成像圈）Opaquing and Vignetting


包括鏡內擋板baffles的設置。鏡前光圈環的設置Aperture stop，可決定、限制光束穿過鏡頭的位置，可影響（改善）離軸的像差表現。（相機鏡頭的光圈通常在鏡間或鏡尾）
在焦平面前的是field stop，決定、限制像場的形狀、大小。


作者分別說明了一般望遠鏡的光圈環的設置位置以及邊緣漸暈的成因（光圈位置，漸暈成因）：

牛頓（主鏡，次鏡），蓋賽格林（主鏡，次鏡及遮管baffle tubes)，折射式（物鏡，對焦筒），施密特或Mak(修正板，主鏡)，施卡或馬卡（修正板，主、次鏡與遮管）⋯⋯

作者在設計Smith-Cassegrain 折反射式一節中說明、計算了compact（譬如我們一般使用的Celestron折反射鏡） 與非 compact（修正鏡提前，次鏡無法固定於其後，鏡身也變長）的修正板位置與主、次鏡參數的變化關係。（詳細計算公式與諸變數含義請見本書。）

當修正板位置離主鏡更遠，可以在主、次鏡皆保持球面的狀況下完成Aplanatic的系統（球面差、彗差皆得到修正），當由作者演釋 f/10 施卡可見修正板位置使得鏡身必須再加長超過compact設計的一半以上。

藉由非球面化其中一面鏡子（通常是次鏡）我們可以完成compact的aplanatic設計。

Doublets 消色差折射鏡的設計

單片的LA計算

兩片式消色差的設計，譬如當我們說對C,F修正，主要的觀念就是兩片鏡片合成後的焦距f(c) 必須等於合成焦距 f(F)

可以得到 -fe2 / fe1 = V1 / V2

thin lens achromatization formulae:

1 / f e1 = [V1 / (V1-V2)]・1 / f e.comb

1 / f e2 = [V2 / (V2-V1)]・1 / f e.comb

消色差不錯的參考資料 ： Schott網站的 Color correction in optical systems

Pg,F（Relative partial dispersion） - V 圖

schoot 出了一個更接近螢石(CaF2)的新產品 N-FK58

這篇精彩的圖文中清楚說明，若消色差使用的兩片玻璃都位在normal line上，那麼它們的secondary spectrum (△f) 都是相同的，因為 △f 正比於此兩片玻璃在這圖上位置的連線的斜率，為了要縮小△f，就要找兩片玻璃的P-V圖連線接近水平的，也就是其中一片玻璃使用位在紅圈內的特殊玻璃。

請參考書中公式 △f  = f * (P F,e1- P F,e2) / (V1-V2)   (21.13.13)

P F,e =(nf - ne) / (nf - nc)

除了上述的斜率之外，在書中第二十一章設計doublets 消色差折射鏡的單元中，作者整理出其他原則，第一，兩片之中的positive lens 即凸透鏡那片的abbe係數要比負鏡高；第二，兩片的abbe 係數差應盡可能的大，這樣鏡片表面就可以使用較低的曲率，仍可以輕鬆的降低球面差及彗差，此外，從公式中也可看出△V 越大 △f 會越小 ；第三，負鏡的折射率應較高，較容易修正球面差，尤其當兩片鏡片之間沒有間隔(cemented)。

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這本對於想要了解望遠鏡的光學原理或DIY望遠鏡的業餘天文玩家來說是不錯的參考書，對一般使用者來說可能會覺得實用性比較有限，譬如使用者無法從本書中找到自己如何調光軸的資訊；書中沒有半張照片，所以無法看到實際的像差影像等。

不過話又說回來，了解望遠鏡的光學原理對於已有器材的朋友來說是有幫助的，譬如可以了解自己的器材與其他器材的優點在哪裡，限制在哪裡，在使用的時候發揮它的長處並避開缺點；了解自己的器材若有光學瑕疵可能的產生原因，是否有辦法修正或彌補；以及如何搭配組合光學系統等等⋯⋯。

PS.

updated 2015/5/10

書中好像沒有介紹到 Petzval 及其變種的設計方式，現在有很多天文望遠鏡都使用了這種設計。

2015/05/17

今天去天文館看到的展示- 光學元件製作流程